VUC NORD

Peter Sørensen, privat: Østre Alle 35 d, 3250 Gilleleje, 4830 2484, ps@PeterSoerensen.dk

08-01-2004

Andengradspolynomiet

Definition

Et andengradspolynomie er en funktion, der har en regneforskrift af formen

f(x) = ax² + bx +c , hvor a ≠ 0

Betragt ax²

Ved at tegne grafen for f(x) = x² ses, det bliver en såkaldt parabel (formet som en parabol-antenne).

Grafen for 2x² bliver mere stejl og grafen for -2x² får samme form , men vender nedad .

y = 2x²

y = -2x²

Populært siger vi at parablen er glad når grenene vender opad

og trist når de vender nedad.

Definition:

Toppunktet er det punkt på parablen hvor y er mindst eller størst.

Hvis man tegner en lodret linje gennem toppunktet, så har man en symmetriakse for parablen.

Toppunktet for parablen ax² er (0, 0)
Betragt a(x-s)² , hvor s er et tal fx 5

Vi vil sammenligne 2 andengradspolynomier

x	p(x) = 2x²	q(x) = 2(x-5)²
0	0	50
5	50	0
10	200	50

Ikke overraskende får q(x) samme værdi som p(x) når blot x forøges med 5 svarende til at grafen for q fremgår af grafen for p ved at blive flyttet 5 i x-aksens retning.

Generelt kan man sige om a(x-s)² , at grafen fremgår af parablen for ax² ved at blive flyttet stykket s ud ad x-aksen.

Toppunktet for a(x-s)² bliver (s,0)

Betragt a(x-s)² + t , hvor både s og t er tal

Grafen bliver den samme som for a(x-s)² , men flyttet stykket t i y-aksens retning.

Toppunktet for a(x-s)² + t bliver (s, t)

Betragt andengradspolynomiet: ax² + bx + c , fx 2x² - 12x + 10

Vi vil nu omskrive det til formen: a(x-s)² + t

2x² - 12x + 10 = 2(x² - 6x ) + 10

Bemærk at (x-s)² = x² + s² - 2sx . (-2sx kaldes ”minus det dobbelte produkt”)

s må være således, at -6x = -2sx ó s=3

Der gælder (x-3)² = x² + 9 – 6x

ó 2(x-3)² = 2x² + 18 – 12x

ó 2(x-3)² - 18 = 2x² – 12x

ó 2(x-3)² - 8 = 2x² – 12x + 10

Heraf ses at grafen for 2x² - 12x + 10 er en ”glad” parabel med toppunkt (3, -8)

Det generelle udtryk: p(x) = ax² + bx + c kan omskrives på samme måde og grafen er derfor en parabel.

Vi vil finde koordinatsættet til toppunktet. Det kan gøres på 2 måde. Du behøver kun at læse den ene

Metode 1:

Metode :2

Vi får: p(x) = a ( x² + ^b/_a x ) + c

+ ^b/_a x skal være lig ”minus det dobbelte produkt”

altså: + ^b/_a x = -2sx ó ^b/_a = -2s ó 2s = - ^b/_a ó s = - ^b/_2a

DVS toppunktet har x-værdien: - ^b/_2a

ax² + bx + c skal skrives på formen:

a(x-s)² +t

= a(x² - 2sx + s²) + t

= ax² - 2asx + as² + t

Altså b = -2as

ó 2as = - b

ó s = - ^b/_2a

DVS toppunktet har x-værdien: - ^b/_2a

ab² - 2ab² + (2a)²c

y-værdien for toppunktet kan beregnes som p(-^b/_2a)=a(-^b/_2a)² + b(-^b/_2a) + c =----------------------

(2a)²

-ab² + 4a²c -b² + 4ac -d

= ----------------- = ----------------- = ------- hvor d = b² - 4ac

4a² 4a 4a

d kaldes diskriminanten

Toppunktet for p(x) har således koordinaterne: ( - ^b/_2a, - ^d/_4a)

Andengradsligningen

Løs

2x² - 12x + 10 = 0

Her komme 2 lige gode metoder (du behøve kun at læse den ene af metoderne)

Metode 1

Metode 2:

Vi bruger den tidligere viste omskrivning af venstresiden og får

2(x-3)² - 8 = 0

ó 2(x-3)² = 8

ó (x-3)² = 4

ó (x-3) = 2 eller (x-3) = -2

ó x = 5 eller x = 1

L = {1, 5}

Her vælger vi at starte med at dividerehele ligningen med 2 og får

x² - 6x + 5 = 0

ó (x-3)² -3² + 5 = 0

ó (x-3)² = 4

ó (x-3) = 2 eller (x-3) = -2

ó x = 5 eller x = 1

L = {1, 5}

Den generelle andengradsligning løses således:

ax² + bx + c = 0

ó x² + ^b/_a x + ^c/_a = 0

ó (x + ^b/_2a )² - (^b/_2a )² + ^c/_a= 0

ó (x + ^b/_2a )² = ( ^b/_2a )² - ^c/_a

ó (x + ^b/_2a )² = ^b²/_4a² - ^4ac/_4a

ó (x + ^b/_2a )² = ^{b² - 4ac} /_4a²

ó (x + ^b/_2a )² = ^d /_4a²

Hvis d < 0 bliver højresiden positiv og venstresiden negativ. Altså ingen løsninger.

Hvis d ≥ 0 fås:

(x + ^b/_2a ) = ± ^√d /_2a

ó x = - ^b/_2a ± ^√d /_2a

- b ± √d

ó x = --------------

Fremover kan vi bruge denne formel til løsning af andengradsligninger

Hvis d > 0 bliver der 2 løsninger

Hvis d = 0 bliver der 1 løsning.

Løsningerne til ax²+bx+c=0 kaldes rødderne for andengradspolynomiet

Grafen for p(x) = 2x² - 8x + 10 ser således ud

Rødderne kan aflæses hvor parablen skærer x-aksen.

Hvis d=0 og der kun er 1 rod, vil toppunktet ligge på x-aksen.

Hvis d<0 og der ingen rødder er, så vil toppunktet for en ”glad” parabel ligge over x-aksen og for en ”trist” parabel vil toppunktet ligge under x-aksen.

Lad os gentage at fortegnet for a afgør om parablen er ”glad”.

Eksempel 1

x² + 3x – 4 = 0

d = 3² - 4·1·(-4) = 25

Der er 2 løsninger

-3 ± √25 -3 ± 5

x = ----------- = ---------

2·1 2

x = {

-4

Eller L = { -4, 1 }

Andengradsuligheder

Løses ved at samle alle led til et polynomium på venstre side

Rødderne findes.

Hvis a>0 er polynomiet er større 0 uden for rødderne og mindre end 0 indenfor.

Hvis a < 0 omvendt.

Eksempel 2

x² + 3x – 4 < 0

Vi fandt i eksempel 1, at venstresidens rødder er -4 og 1

Da a i andengradspolynomiet er større end 0, nemlig 1, bliver L = ] -4; 1 [